圆柱坐标:矩形到圆柱坐标的转换，反之亦然

坐标系统

在柱坐标系中，三维空间中的点P用有序三重(r， θ， z)表示，其中r和θ是P在xy平面上投影的极坐标，z是xy平面到P的有向距离。

在三维中，两个坐标系类似于极坐标，可以方便地描述一些常见的表面和固体。
如果不熟悉，极坐标系统可以方便地描述各个曲线和区域。回想一下极坐标和笛卡尔坐标之间的联系。

从直角坐标到圆柱坐标，反之亦然

记住，在柱坐标系中，三维空间中的点P由有序三重(r， θ， z)表示，其中r和θ是点P在xy平面上投影的极坐标，而z是从xy平面到P的有向距离。

要将直角坐标转换为圆柱坐标，请使用下面给出的公式。

r²= x²+ y²

Tan (θ) = y/x

Z = Z

要将柱坐标转换为直角坐标，请使用以下公式。

X = rcos (θ)

Y = r sin (θ)

Z = Z

圆柱坐标在涉及对称轴对称的问题中是有用的，z轴被选择与对称轴重合。例如，圆筒形轴用笛卡尔方程x表示²+ y²= c²是z轴。在柱坐标系中，圆柱有一个简单的方程r = c。这就是为什么称为“柱”坐标的原因。

例1:圆柱坐标和直角坐标之间的转换

用圆柱坐标(2,2 π/ 3,1)画出点并求出它的直角坐标。

解决方案

给定的问题是从柱坐标到直角坐标的转换。首先，绘制给定的柱坐标或三维平面上的三点，如下图所示。接下来，将上述公式中的给定值替换为柱坐标到直角坐标。

回想一下，维空间是由有序三重(r， θ， z)表示的，而r = 2， θ = 2π/3, z = 1。

X = rcos (θ)

X = 2 cos (2π/3)

X = 2 (-1/2)

X = -1

Y = r sin (θ)

Y = (2) sin2 π/3

Y =√3

Z = Z

Z = 1

回答

(2,2 π/ 3,1)的直角坐标为(- 1，√3,1)。

例2:直角坐标到圆柱坐标

用直角坐标(3，-3，-7)求出该点的柱坐标。

解决方案

当将直角坐标转换为圆柱坐标时，只需将给定的有序三重坐标替换到上面介绍的方程中。回想一下，给定的坐标可以解释为x = 3, y= -3, r = -7。

R =√x²+ y²

R =√(3)²+ (3)²

R = 3√2

Tan (θ) = y/x

Tan (θ) = -3/3

Tan (θ) = -1

θ = tan^－1(1)

θ = (3π/4) + πn

Z = Z

Z = -7

回答

给定直角坐标(3，-3，-7)的转换柱坐标可以表示为(3√2,3π/4， -7)和(3√2,7π/4， -7)等多种形式。和极坐标一样，有无穷多个解。

例3:给定方程的曲面识别

描述在柱坐标中方程为z = r的曲面。

解决方案

给定的方程z = r解释了曲面上每个点的z值或高度与点到z轴的距离r相同。由于θ不出现，它可以变化。平面z = k (k > 0)上的任何水平轨迹都是一个半径为k的圆。这些轨迹表明曲面是一个圆锥。这一预测可以通过将方程转换为直角坐标来证实。从第一个方程中，我们得到了下面的式子。

z²= r²

z²= x²+ y²

回答

我们认识了方程z²= x²+ y²作为一个圆锥体，其轴为z轴。

例4:椭球的圆柱方程

求出椭球4x在柱坐标下的方程²+ 4 y²+ z²= 1。

解决方案

用r²x²+ y²并对椭球方程进行了简化。

4 x²+ 4 y²+ z²= 1

z²= 1 - 4x²+ 4 y²

z²= 1 - 4(x²+ y²）

z²= 1 - 4r²

回答

椭球在柱坐标系中的方程是z²= 1 - 4r²．

例5:给定方程的曲面识别

找出下列方程的曲面。

A. r = 10

b r²+ z²= 81

解决方案

在二维空间中，我们可以推断出第一个给定方程是一个半径为10的圆。因为我们现在在三维空间中，方程中没有z，它可以自由变化。

因此，对于任意给定的z，我们有一个半径为5的圆，它的圆心在z轴上。

对于第二个方程，代入r²= x²+ y²代入方程r²+ z²= 81来表示这个方程的矩形形式。

r²+ z²= 81

x²+ y²+ z²= 81

回答

a.方程为以z轴为中心，半径为10的圆柱体。

b.方程是一个以原点为中心，半径为9的球。

例6:圆柱坐标到直角坐标的转换

用柱坐标(5,2 π/4， -3)绘制点，并在直角坐标中表示其位置。

解决方案

首先，在三维空间中画出坐标，以便正确地可视化。然后，应用上面列出的从柱坐标到直角坐标的转换方程。给定(5,2 π/ 4,3)，直角坐标为:

X = rcos (θ)

X = 5 cos (2π/4)

X = (5) (0)

X = 0

Y = r sin (θ)

Y = (5) sin2 π/4

Y = (5) (1)

Y = 5

Z = Z

Z = -3

回答

圆柱坐标(5,2 π/4， -3)的点具有直角坐标(0，-1，-3)。

例7:直角坐标到圆柱坐标

将直角坐标(1,2,6)转换为圆柱坐标。

解决方案

要将直角坐标转换为圆柱坐标，只需代入正确的方程。回想一下，给定的坐标可以解释为x = 1, y= -2, r = 6。

R =√x²+ y²

R =√(1)²+ (2)²

R =√5

Tan (θ) = y/x

Tan (θ) = -2/1

Tan (θ) = -2

θ = tan^－1(2)

θ = 2.0344 + πn

Z = Z

Z = 6

回答

给定直角坐标(1,2,6)的转换柱坐标可以表示为(3√2,2.034，-7)等多种形式。和极坐标一样，有无穷多个解。

例8:在圆柱坐标系中识别曲面

用给定的圆柱方程描述曲面。

A. θ = π/2

b r²+ z²= 9

解决方案

当角保持不变，整个r和z允许变化时，结果是一个半平面。

首先，代入r²= x²+ y²代入给定的方程r²+ z²= 9才能得到矩形。

r²= x²+ y²

r²+ z²= 9

x²+ y²+ z²= 9

得到的方程是一个以原点为中心，半径为3的球。

回答

因此θ = π/2是半平面，r²+ z²= 9是一个球体。

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