离散数学中的集合论
我是一名数学博士生。我拥有巴基斯坦大学的数学硕士学位,自2020年以来一直在网上写作。
离散数学中的集合论
数学的每个分支都使用集合的概念。格奥尔格·康托是一位德国数学家和哲学家,他在1874年至1897年间提出了抽象实体集理论,并将其转变为数学领域。他对一些现实世界问题的研究涉及特定种类的无限实数集,从而创造了这个理论。
集合和元素的定义
任何明确定义的事物组,即集合的成员或元素,都可以被认为是集合。
通常,集合用大写字母表示,如A, B, X, Y等,而集合的组成部分用小写字母表示,如A, B, X, Y等。集合也可以被称为“类”、“集合”或“族”。
以下是如何表示集合中的成员。
- a∈S表示a属于集合S
- a, b∈S表示a和b属于一个集合S,这里∈是表示“是的一个元素”的符号。
如何表示集合?
实际上只有两种方法可以指定一个特定的集合。列出组的成员,如果可能的话,用逗号分隔,并用大括号括起来。集合中项目的特征用第二种方法表示。这两种方法的例子如下:
方法1
A = {1,2,9,0}
集合A由数字1,2,9,0组成。
方法2
B= {x | x是奇数,x > 0}
B是x的集合,使得x是一个奇整数且x大于0。表示包含正整数的集合b。请记住,字母(通常是x)用于标识集合的典型成员,逗号和竖线|都读作“和”。
例子:
- 我们不能列出上述集合B的所有元素,尽管我们经常用B ={2,4,6…我们以为每个人都明白我们的意思。注意到8∈B,但3不属于B。
- 上面的集合A也可以写成A = {x | x是一个奇数正整数,x < 10}
什么是子集?
假设集合A中的每个元素也是集合B中的一个元素,或者集合A暗示集合B,因此,A被认为是B的一个子集。我们也可以声明B包含A或A包含在B中。这种关联被标记为:
A⊆B或B⊇A
平等的集
如果两个集合包含相同的项目,或者换一种说法,如果一个集合包含另一个,那么这两个集合是相等的。这是:
A = B当且仅当A⊆B和B⊆
子集示例:
让我们考虑这三组
A = {1,2,3,6} b = {2,4,6,8,} c = {1,3}
C⊆A因为包含在A中,但B不是A的子集,因为它不包含在A中。
定理(子集):
设A B C是任意集合。
然后:
(i) A⊆
(ii)如果A⊆B, B⊆A,则A = B
(iii)如果A⊆B, B⊆C,那么A⊆C
集合的特殊符号:
对于某些集合,我们使用特殊的符号,因为它们将在文本中频繁出现。这些符号的例子有:
N =正整数或自然数的集合:1,2,3…
Z =所有整数的集合:…,−2,−1,0,1,2…
Q =有理数集合R =实数集合C =复数集合
结果:
N⊆z⊆q⊆r⊆c。
大学年代基地组
在集合论的任何应用中,所考虑的所有集合都属于某个固定的巨大集合,称为泛集,我们用U.
通用集的例子:
给定一个泛集U和一个属性P, U中可能没有任何具有属性P的元素。例如,下面的集合没有元素:
S = {x | x是正整数,x^2 = 3}
只有一个空集,也称为空集,它是一个没有任何元素的集。换句话说,如果S和T都是空的,那么S = T,因为它们都有完全相同的项,即没有。每一个其他集合也被认为是空集合的子集。因此,我们可以将下面的简单结论形式化。
定理(通用):
声明:
对于任意集合A,
我们有∅⊆A⊆U
不相交的集
定义:
如果两个集合A和B没有任何元素重叠,我们称它们是不相交的。
不相交集的例子:
让我们考虑这三个集合,
A = {1,3,5} b = {6,8,9} c = {6,5,4}
集合A和B是不相交的,但B和C不是不相交的,因为它们有一个共同的元素6。
集合的应用理论
集合的应用科学理论
集合论的应用最常用于科学和数学领域,如生物学、化学和物理学,以及计算机和电气工程。这些应用范围从形成几何、微积分和拓扑的逻辑基础,到创建围绕场、环和组的代数。
集合的应用现实生活中的理论
在厨房里,工具的摆放方式是盘子和勺子分开。这是现实生活中另一个集合的例子。另一个例子是,当我们去手机商店时,像Galaxy Duos、Lumia等高级手机是如何与普通手机分开的。
据作者所知,这些内容是准确和真实的,并不意味着要取代来自合格专业人士的正式和个性化的建议。
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