混沌理论有哪些应用?

Leonard Kelley拥有物理学学士学位，辅修数学。他热爱学术世界，并努力不断探索。

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相位图是动态系统中可视化变化的一种方法，是由爱德华·洛伦兹(Edward Lorenz)在1961年完成的，他想知道数学是否可以用来预测天气。他提出了12个方程，涉及几个变量，包括温度、压力、风速等。幸运的是，他有电脑帮助他计算，而且……他发现他的模型不能很好地准确预测天气。

短期来看，一切都很好，但越往后，模型就越糟糕。这并不奇怪，因为系统中有很多因素。洛伦兹决定通过关注冷/热空气的对流和流动来简化他的模型。这种运动本质上是圆形的，因为暖空气上升，冷空气下沉。三个全微分方程被开发出来检验这一点，Lorenz非常有信心他的新工作将解决长期缺乏可预测性的问题(Parker 85-7, Bradley, Stewart 121)。

相反，每一次新的模拟都给了他不同的结果!接近的条件可能导致截然不同的结果。是的，事实证明，在每次迭代中，模拟都会将先前的答案从6位有效数字四舍五入到3位，这导致了一些错误，但不足以解释所看到的结果。当结果在相空间中绘制出来时，画像就变成了一组蝴蝶翅膀。中间是一堆鞍座，允许从一个循环过渡到另一个循环。一片混乱。

Lorenz发表了他的研究结果大气科学杂志他在1963年发表了题为《确定性非周期性流动》的论文，解释了长期预测永远不可能实现。相反，第一个奇怪的吸引子——洛伦兹吸引子被发现了。对于其他人来说，这导致了经常被引用的流行的“蝴蝶效应”(Parker 88-90, Chang, Bradley)。

上世纪30年代，安德烈·科尔莫戈洛夫(Andrei Kolmogorov)对自然界进行了类似的研究。他对湍流感兴趣，因为他觉得这是相互形成的涡流。列夫·兰道想知道这些漩涡是如何形成的，因此在20世纪40年代中期开始探索霍普夫分岔是如何产生的。这是流体中的随机运动突然变成周期性运动并开始循环运动的时刻。

当流体在流动路径上流过物体时，如果流体的速度较慢，则不会形成涡流。现在，增加足够的速度，你就会形成涡流，速度越快，涡流就会变得越远越长。它们能很好地转化为相空间。慢流为定点吸引子，快流为极限环，快流为环面。

所有这些假设我们达到了Hopf分岔，因此进入了某种周期运动。如果确实是周期，那么频率就确定了，就会形成规则的涡流。如果是准周期的，我们有一个次频率，一个新的分岔出现了。涡流堆积(帕克91-4)。

对大卫·鲁埃尔来说，这是一个疯狂的结果，而且太复杂了，不适合任何实际用途。他认为系统的初始条件应该足以确定系统发生了什么。如果有无限多的频率是可能的，那么洛伦兹的理论就大错特错了。鲁埃尔开始着手弄清楚发生了什么，并与弗洛里斯·塔肯斯(Floris Takens)一起研究数学。结果，湍流只需要三个独立的运动，再加上一个奇怪的吸引子(95-6)。

但不要以为天文学被排除在外了。Michael Henon正在研究球状星团，球状星团中充满了古老的红色恒星，它们彼此靠近，因此经历混沌运动。1960年，Henon完成了他的博士研究，并发表了他的成果。在考虑了许多简化和假设之后，Henon发现，随着时间的推移，星团最终会经历核心坍缩，恒星随着能量的损失开始飞走。因此，这个系统是耗散的，并继续存在。

1962年，埃农与卡尔·海尔斯(Carl Heiles)合作，进一步研究并开发了轨道方程，然后开发了2D横截面来研究。许多不同的曲线都存在，但没有一个能让恒星回到原来的位置，初始条件确实会影响所采取的轨迹。多年后，他意识到自己手上有一个奇怪的吸引子，发现他的相位肖像的维度在1到2之间，表明随着星系团生命的发展，“空间被拉伸和折叠”(98-101)。

那么粒子物理学呢，一个看似复杂的领域?1970年，迈克尔·费根鲍姆(Michael Feigenbaum)决定研究他所怀疑的混沌:微扰理论。粒子相互撞击，从而引起进一步的变化，这种方法是最好的攻击，但它需要大量的计算，然后找到一些模式…是的，你看到问题了。

对数、指数、幂，许多不同的拟合都尝试过，但都无济于事。然后，在1975年，费根鲍姆听说了分岔结果，决定看看是否发生了一些加倍效应。在尝试了许多不同的拟合后，他发现了一些东西:当你比较分叉之间的距离差异时，发现连续比率收敛到4.669!进一步的细化缩小了更多的小数位数，但结果是明确的:分岔，一种混沌特征，存在于粒子碰撞力学中(120-4)。

混乱的证据

当然，所有这些结果都很有趣，但是我们能做些什么实际的、动手的测试来检验混沌理论中相位画像和奇怪吸引子的有效性呢?在Ruelle和Takens的工作基础上进行的Swinney-Gollub实验就是这样一种方法。

1977年，Harry Swinney和Jerry Gollub使用M.M. Couette发明的一种设备来观察预期的混沌行为是否会突然出现。该装置由两个不同直径的圆柱体组成，圆柱体之间有液体。内缸旋转，流体的变化引起流动，总高度为1英尺，外径为2英寸，气缸之间的总间距为1/8英寸。在混合物中加入铝粉，当圆柱体旋转时，激光通过多普勒效应记录速度;频率的变化是可以确定的。

随着速度的增加，不同频率的波开始叠加，只有傅里叶分析才能辨别更细微的细节。在完成对收集到的数据的分析后，出现了许多有趣的模式，其中几个不同高度的峰值表明了准周期运动。然而，某些速度也会导致长串相同高度的尖峰，这表明混乱。第一个转变最终是准周期的，但第二个转变是混乱的(Parker 105-9, Gollub)。

鲁埃尔仔细研究了这个实验，注意到它预测了他的大部分工作，但注意到实验只关注流的特定区域。整批货物都发生了什么?如果奇怪的吸引子发生在这里和那里，它们是否在流中无处不在?

1980年左右，詹姆斯·科鲁驰菲尔德、J.D.法默、诺曼·帕卡德和罗伯特·肖通过模拟一个不同的流程解决了数据问题:一个滴水的水龙头。我们都遇到过水龙头漏水时有节奏的敲打声，但当水滴变成我们能得到的最小流量时，水就会以不同的方式堆积起来，因此规律性就不再存在了。通过在底部放置一个麦克风，我们可以记录冲击，并得到强度变化的可视化结果。我们最终得到的是一个带有尖峰的图，在傅里叶分析完成后，它确实是一个奇怪的吸引子，很像Henon的!帕克(110 - 1)

预测混乱?

尽管这听起来很奇怪，科学家们可能已经找到了混沌机器的一个扭结，它就是…机器。马里兰大学的科学家们在机器学习方面取得了突破，他们开发了一种算法，使机器能够研究混沌系统，并在此基础上做出更好的预测，在这种情况下，就是Kuramoto-Sivashinksky方程(处理火焰和等离子体)。

该算法取5个恒定数据点，以过去的行为数据为基础进行比较;当机器将预测结果与实际结果进行比较时，它会更新预测结果。这台机器能够预测李雅普诺夫时间的8个因素，或者相似系统路径开始指数分离之前所需的长度。混乱仍然是赢家，但预测能力是强大的，可以导致更好的预测模型(Wolchover)。

作品的引用

布拉德利,拉里。“蝴蝶效应。”Stsci.edu。

程,肯尼斯。"气象学家、混沌理论之父爱德华·n·洛伦兹逝世，享年90岁"Nytime.com．纽约时报，2008年4月17日。2018年6月18日。

j·p·格鲁布和哈里·l·斯温尼。"旋转流体中湍流的开始"物理评论快报1975年10月6日。打印。

帕克,巴里。宇宙的混乱。纽约，全会出版社，1996年。打印，85-96,98-101。

斯图尔特,伊恩。计算宇宙。Basic Books，纽约，2016。打印。121。

Wolchover,娜塔莉。“机器学习预测混乱的‘惊人’能力。”Quantamagazine.com．2018年4月18日广达。2018年9月24日。

©2018 Leonard Kelley