更新日期:

什么是三角数?

作者:

我以前是一名数学老师,也是DoingMaths的老板。我喜欢写有关数学、数学应用和有趣的数学事实的文章。

在这篇简单易懂的数学文章中学习三角数字。

在这篇简单易懂的数学文章中学习三角数字。

什么是三角数?

三角形数字是将点排列成大小越来越大的等边三角形而形成的数字序列。你可以从下面的图表中看到,第一个三角形数字1是由一个点组成的。

为了得到第二个三角形数字3,我们添加了另一行,这一次包含了两个点,在原来的点下面。

然后我们加上一行三个点,得到第三个三角形数字6。

我们继续这样做,每次添加额外的行到三角形的底部,它包含比前一行多一个点。这就得到了数列1 3 6 10 15 21等等。

前六个三角形数字

what-are-triangular-numbers

用代数方法描述三角数

我们已经看到了如何用图示的方法来构造三角数的序列,现在让我们试着用数学来形式化它。从我们目前所做的可以看出,一个三角形数与下一个三角形数之间的差值每次都增加一个。

如果我们用T表示第一个三角形数1,第二个是T2,以此类推,使nth三角数是Tn,并进一步将第0个三角形数定义为0,则得到:

T0= 0

T1= T0+ 1 = 1

T2= T1+ 2 = 3

T3.= T2+ 3 = 6

T4= T3.+ 4 = 10

等等。

因此我们得到任何三角形数都是所有的正整数的和包括它的项数,即Tn= 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n。

在求和表示法中,这可以表示为如下图所示。

三角数的求和公式

what-are-triangular-numbers

如何计算第n个三角数

我们知道Tn= 1 + 2 + 3 +…

如果我们重写Tn但是把和反过来,我们得到Tn= n + n−1 + n−2 +

将这两行相加,我们得到:

Tn+ Tn= (n + 1) + n (n−1 + 2)+(−2 + 3 ) + ... + ( n + 1)

2 tn= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +…

由于这个级数中有n项,我们得到:

2 tn= n × (n + 1)

Tn= n × (n + 1) / 2

利用这个公式,我们可以快速地计算级数中的任何项。

例如T50= 50 × 51 / 2 = 1275

T1000= 1000 × 1001 / 2 = 500 500

三角数和平方数之间的连接

也许令人惊讶的是,三角数和平方数之间有一个非常简单的联系。首先,让我们想象一下。

如果我们将三角形与边对齐,创建直角三角形而不是等边三角形,然后我们可以将两个连续的三角形旋转180°,将它们放在一起,形成一个正方形。这可以在下面的图片中看到,我们已经取了第三个三角形数字(红色)和第四个三角形数字(蓝色)。把它们加在一起,我们得到一个大小为4 × 4 = 16的正方形。


第三和第四个三角数相加

what-are-triangular-numbers

三角和平方数:代数

我们可以很容易地看到,这个方法可以应用到我们目前所见过的所有三角形数,如果我们把任意连续的三角形数相加,我们确实得到了一个平方数。

例如;1 + 3 = 4,3 + 6 = 9,6 + 10 = 16。

此外,我们可以看到,到目前为止,我们得到了所有的平方数1(等于第一个三角形数)、4、9、16等,没有跳过任何一个。

这可以通过考虑我们之前建立的公式来用代数方法表示出来。

Tn+ Tn−1= n × (n + 1) / 2 + (n−1)× n / 2

= (n2+ n / 2 + (n2−n) / 2

n = 22/ 2

= n2

因此,我们证明了任何连续的三角形数必须加在一起才能产生一个平方数和任何平方数n2Tn和Tn−1

三角数与立方数之间的联系-尼可马科斯定理

在三角形数和立方体数之间也有一个惊人的简单联系。n的平方th三角形数等于前n个立方体数的和。

代数上,这可以表示为:

Tn2=(1 + 2 + 3 +…+ n)2= 13.+ 23.+ 33.+名词+名词3.

这被称为尼哥马库斯定理,以古希腊数学家尼哥马库斯命名。

三角数的实际应用

三角数最著名的应用也许是在握手问题中。如果一间屋子里有n个人,需要握手多少次才能保证每个人和其他人只握手一次?

如果房间里只有两个人,那么握手一次。

如果一个房间里有3个人,那么a和b、c分别握手,然后b、c分别握手,一共握手3次。

如果一个房间里有4个人,那么很容易算出需要握手6次。

这可以扩展到n个人。当一个房间里有n个人时,第一个人需要和房间里的所有人握手,以第一个人为特征进行n - 1次握手。第二个人需要和每个人握手,但是我们已经数了他和第一个人握手的次数,所以他们还有n - 2个人要握手。

继续这个逻辑,我们可以看到n个人会有(n - 1) + (n - 2) +…+ 2 + 1次握手。正如我们已经看到的,这个等于Tn−1

因此,无论房间里有多少人,握手的次数总是一个三角形的数字。

欲进一步阅读,请访问我的文章握手的问题

握手问题也相当于计算一个锦标赛的循环赛小组阶段需要进行多少场比赛,每支球队只进行一次比赛。例如,一个4支球队的小组将有6场比赛。

此内容是准确和真实的作者的知识,并不是要取代正规和个性化的意见,从合格的专业人士。

©2021大卫

相关文章