求解微积分中的相关速率问题

什么是相关利率?

相关率是一种微积分问题，涉及到通过与其他已知变化率的已知值相关联来找到一个量的变化率。例如，如果我们向甜甜圈漂浮器中注入空气，半径和气球体积都会增加，并且它们的增长速度是相关的。这两种方法都可以解，但是体积变化率要容易得多。请注意，相关的变化率通常是用时间表示的。

如何计算相关费率?

关于如何计算相关利率有很多策略，但您必须考虑必要的步骤。

1. 仔细阅读并理解题目。根据解决问题的原则，第一步总是理解问题。它包括仔细阅读相关的利率问题，确定已知的和未知的。如果可能的话，试着把题目读至少两遍，以完全理解问题所在。
2. 如果可能的话，画一个图表或草图。对给定的问题画一幅画或表示可以帮助可视化并使一切井井有条。
3. 引入符号或符号。将符号或变量赋给所有与时间有关的量。
4. 把给定的信息和必要的汇率用衍生品表示出来。记住变化率是导数。将已知和未知重新表述为导数。
5. 写出一个把问题的几个量联系起来的方程。写出一个方程，将变化率已知的量与变化率待解的值联系起来。它会帮助你想出一个将已知和未知联系起来的计划。如有必要，利用情况的几何形状，用代换法消除其中一个变量。
6. 用微积分中的链式法则微分方程两边的时间。方程两边对时间(或任何其他变化率)求导。链式法则通常应用于这一步。
7. 将所有已知值代入结果方程，并求解所需的速率。一旦完成了前面的步骤，现在是时候求解所需的变化率了。然后，将所有已知值代入，得到最终答案。

注意:标准误差是过早地替换给定的数值信息。应该在区分之后再做。这样做会产生不正确的结果，因为如果事先使用，这些变量将变成常数，当微分时，结果将是0。

为了充分理解如何计算相关汇率的这些步骤，让我们看看下面关于相关汇率的应用题。

例1:相关利率锥问题

水箱为倒圆锥形，底部半径为2m，高度为4m。如果水以2米的速度被泵入水箱^3.每分钟，求3米深时水位上升的速度。

解决方案

我们首先勾勒出锥体并标记它，如上图所示。设V, r, h为圆锥的体积，曲面的半径，以及t时刻水的高度，其中t以分钟为单位。

已知dV/dt= 2m^3./min，要求出高度为3米时的dh/dt。量V和h由锥的体积公式联系起来。请看下面的方程。

V = (1/3) πr²h

记住，我们要求的是高度随时间的变化量。因此，将V单独表示为h的函数是非常有益的。为了消除r，我们使用上图所示的相似三角形。

R /h = 2/4

R = h/2

将表达式替换为V

V = 1/3π (h/2)²(h)

V = (π/12) (h)^3.

接下来，方程两边分别用r求导。

dV/dt = (π/4) (h)²dh / dt

Dh /dt = (4/πh²) dV / dt

代入h= 3m, dV/dt=2m^3./min，我们有

Dh /dt = (4/[π(3))²) (2)
Dh /dt = 8/9π

最终的答案

水位以8/9π≈0.28m/min的速度上升。

例2:相关利率阴影问题

一盏灯在一根15英尺高的杆子上。一个5英尺10英寸高的人以每秒1.5英尺的速度离开灯杆。当人离杆子30英尺时，影子的尖端以什么速度向外移动?

解决方案

让我们首先根据问题提供的信息绘制图表。

设x为影子尖端到杆子的距离，p为人到杆子的距离，s为影子的长度。此外，将人的高度转换为脚，以获得一致性和更舒适的解决方案。换算后的身高是5英尺10英寸= 5.83英尺。

阴影的尖端是由刚经过人的光线所定义的。观察它们形成了一组相似的三角形。

给定已提供的信息和未知的信息，将这些变量关联到一个方程中。

X = p + s

从方程中消去s，用p表示方程。使用上图中的相似三角形。

5.83/15 = s/x

S = (5.83/15) (x)

X = p + s

X = p + (5.83/15) (X)

P = (917/1500) (x)

X = (1500/917) (p)

求导每边并求解所需的相关速率。

Dx /dt = 1500/917 (dp/dt)

/dt = (1500/917) (1.5)

Dx /dt = 2.454英尺/秒

最终的答案

然后，影子的尖端以2.454英尺/秒的速度远离极点。

例3:相关费率阶梯问题

一架8米长的梯子靠在建筑物的垂直墙上。梯子底部以1.5米/秒的速度滑离墙壁。当梯子底部距离墙壁4米时，梯子顶部向下滑动的速度有多快?

解决方案

我们首先画一个图表来想象梯子靠在垂直的墙上。设x米为梯子底部到墙壁的水平距离，y米为梯子顶部到地面的垂直距离。注意，x和y是时间的函数，以秒为单位。

已知dx/dt = 1.5 m/s，求x = 4米时的dy/dt。在这个问题中，x和y之间的关系由勾股定理给出。

x²+ y²= 64

两边用t求导用链式法则。

2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0

求解前面的方程得到所需的速率，即dy/dt;得到:

Dy /dt = - x/y (dx/dt)

当x = 4时，根据勾股定理，y = 4√3，将这些值代入dx/dt = 1.5，得到如下方程。

Dy /dt =−(3/4√3)(1.5)=−0.65 m/s

dy/dt为负的事实意味着从梯子顶端到地面的距离以0.65 m/s的速率减小。

最终的答案

梯子顶部以0.65米/秒的速度滑下墙壁。

例4:相关利率圆问题

来自一口未使用油井的原油在地下水表面以圆形薄膜的形式向外扩散。如果圆形膜的半径以1.2米/分钟的速度增加，当半径为165米时，油膜的面积在瞬间扩散的速度有多快?

解决方案

设r和A分别为圆的半径和面积。注意变量t的单位是分钟。油膜的变化率由dA/dt的导数给出，其中

A = πr²

用链式法则对面积方程两边求导。

dA/dt = d/dt (πr²) = 2πr(博士/ dt)

已知dr/dt = 1.2米/分钟。对油斑的生长速度进行了代入和求解。

(2πr) dr/dt = 2πr (1.2) = 2.4πr

将r = 165 m的值代入得到的方程。

dA/dt = 1244.07 m²/分钟

最终的答案

半径为165 m的瞬间油膜生长面积为1244.07 m²/分钟。

例5:Related Rates圆柱

在半径为10米的圆柱形容器中，以5米的速度向处理过的水注水^3./分钟。水的高度增加得有多快?

解决方案

设r为圆柱形容器的半径，h为高度，V为圆柱形容器的体积。半径是10米，水箱的流速是5米^3./分钟。因此，圆柱体的体积由下面的公式提供。用圆柱体的体积公式把这两个变量联系起来。

V = πr²h

用链式法则对两边隐式微分。

dV/dt = 2πr (dh/dt)

已知dV/dt = 5m ^3/min。用给定的体积变化率和容器半径来求解水的高度增量dh/dt。

5 = 2π (10) (dh/dt)

Dh /dt = 1/4π米/分钟

最终的答案

圆柱形罐中水的高度以1/4π米/分钟的速率增加。

例6:相关利率范围

空气被注入一个球形气球，使其体积以120厘米的速度增加^3.每秒。当直径为50厘米时，气球的半径增加得有多快?

解决方案

让我们从识别已知信息和未知信息开始。空气体积增加的速率为120厘米^3.每秒。当直径为50厘米时，球体半径的增长速度是未知的。参考下图。

设V为球形气球的体积，r为球形气球的半径。体积的增长率和半径的增长率现在可以写成:

dV/dt = 120 cm^3./秒

r = 25cm时的Dr /dt

为了把dV/dt和dr/dt联系起来，我们首先用球的体积公式把V和r联系起来。

V = (4/3)πr^3.

为了利用已知的信息，我们对方程两边求导。为了求方程右边的导数，利用链式法则。

dV/dt = (dV/dr) (dr/dt) = 4πr²(博士/ dt)

接下来，解出未知量。

Dr /dt = 1/4πr²(dV / dt)

将r = 25, dV/dt = 120代入方程，得到如下结果。

Dr /dt = (1/[4π(25))²) (120) = 6/(125π)

最终的答案

球囊半径以6/(125π)≈0.048 cm/s的速率增大。

例7:相关费率旅行汽车

汽车X以95公里/小时的速度向西行驶，汽车Y以105公里/小时的速度向北行驶。两辆车X和Y都朝着两条路的交叉路口开。当车X距离路口50米，车Y距离路口70米时，两辆车以什么速率相互接近?

解决方案

画出图形，使C为道路的交叉路口。给定时间t，设x为车a到车C的距离，y为车B到车C的距离，z为车与车之间的距离。请注意，x、y和z的单位是千米。

已知dx/dt= - 95km /h, dy/dt = - 105km /h。你可以看到，导数是负的。因为x和y都在减少。我们要求出dz/dt。勾股定理给出了x, y, z的关系式。

z²= x²+ y²

用链式法则求导两边。

2z (dz/dt) = 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt)

Dz /dt = (1/z) [x (dx/dt) + y (dy/dt)]

当x = 0.05 km, y = 0.07 km时，根据勾股定理z=0.09 km，因此

Dz /dt = 1/0.09[0.05(−95)+ 0.07(−105)]

Dz /dt = - 134.44 km/h

最终的答案

两辆车以134.44公里/小时的速度相互接近。

例8:与探照灯角度相关的速率

一个人以每秒2米的速度沿着一条笔直的小路走。一个探照灯位于距离直线路径9米的地板上，集中在那个人身上。当人在离探照灯最近的直线点10米处时，探照灯的旋转速率是多少?

解决方案

画出图形，设x为从男子到路径上最靠近探照灯的点的距离。我们设θ为探照灯光线与垂直于航向之间的夹角。

已知dx/dt = 2m /s，并要求出x = 10时的dθ/dt。关于x和θ的方程可以从上图中写出。

X /9 = tanθ

X = 9tanθ

两边用隐式微分法求导，得到如下解。

Dx /dt = 9秒²(θ)dθ/ dt

Dθ /dt = (1/9) cos2(θ) DXDT

Dθ /dt = 1/9 cos²θ(2) = 2/9cos²(θ)

当x = 10时，光束的长度为√181，因此cos(θ)=9/√181。

Dθ /dt =(2/9)(9/√181)²= (18/181) = 0.0994

最终的答案

探照灯以0.0994 rad/s的速度旋转。

例9:相关利率三角形

三角形有两条边A = 2厘米，b = 3厘米。当给定边之间的角α为60°，并以每秒3°的速度膨胀时，第三条边c增加的速度有多快?

解决方案

根据余弦定理，

c²=一个²+ b²−2 ab (cosα)

对方程两边求导。

(d / dt) (c²) = (d/dt²+ b²−2 abcosα)

2c (dc/dt) =−2ab(−sinα) dα/dx

Dc /dt =[(苦艾酒α)/c] (dα/dt)

计算边长c。

C =√(a2+b2−2abcosα)

C =√(2²+ 3²−2 (2)(3)cos60°)

C =√7

求变化率dc/dt。

Dc /dt =(苦艾酒α)/c (dα/dt)

Dc /dt = (2)(3)sin60°/√7 (dα/dt)

Dc /dt = (2)(3)sin60°/√7 (3)

Dc /dt = 5.89 cm/sec

最终的答案

第三条边c以5.89厘米/秒的速度增加。

例10:相关利率矩形

矩形的长度以10m /s的速度增加，宽度以5m /s的速度增加。当长度为25米，宽度为15米时，矩形截面的面积增加得有多快?

解决方案

想象一下要解的矩形的样子。如图所示，画草图并贴上标签。设dl/dt = 10m /s, dw/dt = 5m /s。边的变化率与面积的关系方程如下所示。

A = lw

用隐式微分法求矩形面积方程的导数。

d/dt (A) = d/dt (lw)

dA/dt = l (dw/dt) + w (dl/dt)

将dl/dt和dw/dt的给定值应用于所得到的方程。

dA/dt = l (dw/dt) + w (dl/dt)

dA/dt = 25 (5) + 15 (10)

dA/dt = 275 m²/秒

最终的答案

矩形的面积以275米的速度增加²/ s。

例11:相关利率平方

正方形的边长以8厘米的速度增加²/ s。求面积为24 cm时其面积的增大率²．

解决方案

画出题目中所描述的正方形的情况。因为我们处理的是面积，所以主要方程必须是正方形的面积。

A = s²

对方程隐式微分并求导。

d/dt [A] = d/dt [s]²］

dA/dt = 2s (ds/dt)

在给定A = 24厘米的条件下，求出正方形的边长²．

24厘米²=年代²

S = 2√6 cm

求出所需的平方变化率。代入ds/dt = 8 cm²/s, s = 2√6 cm。

dA/dt = 2(2√6)(8)

dA/dt = 32√6 cm²/秒

最终的答案

给定正方形的面积以32√6厘米的速率增加²/ s。

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