三角函数中的协函数恒等式(附证明与实例)
雷是菲律宾的一名注册工程师。他喜欢写数学和土木工程方面的文章。
推导出协函数恒等式，以获得正弦函数和正切函数的和恒等式和差恒等式。协函数恒等式直接由余弦的差分恒等式导出。协函数恒等式表示正弦，余弦，正切，余切，正割和余割之间的关系。一个角的三角函数值等于这个角的补函数的协函数值。
我们把正弦函数和余弦函数称为彼此的协函数。类似地，正切和余切函数都是协函数，正割和余割也是。
如果变量u为锐角的弧度测度，则角度测度与弧度测度π/2 - u与u互补。我们可以考虑如下图所示的直角三角形。
Sin (u) = a/c = cos (π/2 - u)
Cos (u) = b/c = sin (π/2 - u)
Tan (u) = a/b = cot (π/2 - u)
这三个公式及其类似物secant(u)， cosecant(u)， cotan (u)说明变量u的函数值等于补角π/2 - u的协函数。
角度和弧度的函数公式
给定变量u为实数或角度的弧度测量值，则以弧度为单位的协函数公式如下:
正弦和余弦是协函数和补函数。
Cos (π/2 - u) = sin (u)
Sin (π/2 - u) = cos (u)
正切和余切是函数和补。
Tan (π/2 - u) = cot (u)
Cot (π/2 - u) = tan (u)
正割和余割是函数和补。
SEC (π/2−u) = CSC (u)
CSC (π/2−u) = SEC (u)
给定变量u为实数或角的弧度，则以度为单位的协函数公式如下:
正弦和余弦是协函数和补函数。
Cos(90°- u) = sin (u)
Sin(90°- u) = cos (u)
正切和余切是函数和补。
Tan(90°- u) = cot (u)
Cot(90°- u) = tan (u)
正割和余割是函数和补。
SEC(90°- u) = CSC (u)
CSC(90°- u) = SEC (u)
函数恒等式证明
让我们来看一些证明。
证明1：从余弦到正弦
步骤1:在推导第一个协函数恒等式时，我们使用了余弦的差值公式或减法公式;我们有
因为(π/ 2 - u) = cos(π/ 2)因为(u) +罪(π/ 2)(u)的罪
步骤2:求出可解的三角函数。
Cos (π/2 - u) = (0) Cos (u) + (1) sinu
步骤3:化简表达式。因此，我们得到公式(1)
Cos (π/2 - u) = sin (u)
证明2，从正弦到余弦
步骤1:我们可以用证明1中的结果来证明第二个协函数恒等式。如果我们把π/2 - v代入第一个公式，我们得到
Cos [π/2 - (π/2 - v)] = sin (π/2 - v)
步骤2:求可解三角函数的值。
cosv = sin (π/2 - v)
步骤3:由于符号v是任意的，推导出的方程等价于第二个协函数公式。
Cos u = sin (π/2 - u)
证明3:正切到余切
步骤1:利用正切恒等式、函数式1、2和余切恒等式，我们得到了第三个公式的证明:
Tan (π/2 - u) = [sin (π/2 - u)] / [cos (π/2 - u)]
步骤2:化简三角表达式。
Tan (π/2 - u) = cos (u) / sin (u)
Tan (π/2 - u) = cot (u)
为了进一步理解，下面是一些三角协函数恒等式的例子。
例1:正弦表达式的协函数
找出一个角θ，使三角表达式sin (θ) = cos (3θ -10)正确。
解决方案
因为我们想让共函数值相等，所以这两个角必须是互补的。
θ + (3θ - 10°)= 90°
4θ - 10°= 90°
θ = 25°
回答
使表达式成立的角度θ = 25°。
正弦函数
例2:正切函数的协函数
求一个角θ使三角表达式tan θ = cot (θ/2 + π/12)为真。
解决方案
同样，这两个角是互补的。因此,
θ + (θ/2 + π/12) = π/2
3θ/2 = π/2 - π/12 = 5π/12
3θ/2 = 5π/12
θ = 10π/36 = 5π/18
回答
θ的最终值= 5π/18。
正切函数的协函数
例3:求角度U的值
如果cos (π/2 - u) = sin (π/8)，求出变量u在0到π/2之间的值。
解决方案
回忆一下余弦的协函数恒等式，用它来计算给定的三角函数表达式。
Cos (π/2 - u) = sin (u)
Cos (π/2 - u) = sin (π/8)
U = π/8
回答
因此，变量u的值为π/8。
用函数式求角U的值
例4:用协函数恒等式求函数值
求余割函数(5π / 6)
解决方案
简化给定的余割函数，把它转换成一个方程，它的基本等价是sin。
CSC (5π / 6) = 1 / sin (5π / 6)
应用sin的协函数恒等式。
CSC (5π / 6) = 1 / sin (π / 2 + π / 3)
进一步简化表达式并求解函数。
CSC (5π / 6) = 1 / sin (π / 2 - -π / 3)
CSC (5π / 6) = 1 / cos (-π / 3)
CSC (5π / 6) = 1 / cos (π / 3)
CSC (5π / 6) = 2
回答
csc (5π / 6)等于2。
用余函数恒等式求余割函数
例5:求正切函数的值
如果tan (π / 2 - x) + cot (π / 2 - x) = 2, tan (x)的值是多少?
解决方案
由三角协函数恒等式可知，tan (π / 2 - x) = cot (x)和cot (π / 2 - x) = tan (x)。因此，对所给方程进行代换得到:
Tan (π / 2 - u) + cot (π / 2 - x) = 2
Cot (x) + tan (x) = 2
[1 / tan(x)] + tan(x) = 2
1 + tan2(x) = 2 tanx
棕褐色2(x) - 2tanx + 1 = 0
(tanx - 1)2= 0
Tan (x) = 1
回答
tan(x)的值等于1。
求正切函数的值
例6:割线函数的协函数恒等式
如果sec (π / 2 - x) = csc (π / 8) x在0和π / 2之间，它的值是多少?
解决方案
SEC (π / 2 - x) = CSC (x)
SEC (π / 2 - x) = CSC (π / 8)
X = π / 8
回答
x的值是π / 8。
割线函数的协函数恒等式
例7:求余切函数的值
求cot(45°)的值。
解决方案
用协函数恒等式tan(90°- u) = cot (u)来重写这个问题。
Cot(45°)= tan(90°- 45°)
Cot(45°)= tan(45°)
Cot(45°)= 1
回答
cot(45°)值为1。
正切函数的协函数公式
例8:用协函数恒等式重写三角方程
使用协函数恒等式帮助您将下列表达式写成锐角小于45°的函数。
A. tan(60°)
B. sin(122°)
C. cos(285°)
D. cot(80°)
解决方案
用tan(60°)的tan余函数恒等式。
Tan (u) = cot(90°- u)
Tan(60°)= cot(90°- 60°)
Tan(60°)= cot(30°)
应用sin(122°)的正弦函数恒等式。
sinu = cos(90°- u)
Sin(122°)= cos(90°- 122)
Sin(122°)= cos(-32°)
Cos(-32°)= Cos(32°)
用余弦的余弦函数恒等式。
Cos (u) = sin90°- u
Cos(285°)= sin(90°- u)
Cos(285°)= sin(90°- 285°)
Cos(285°)= sin(-195°)
Sin(-195°)= Sin (15)
最后一个问题应用余切函数恒等式。
Cot (u) = tan(90°- u)
Cot(80°)= tan(90°- 80°)
Cot(80°)= tan(10°)
回答
A. cot(30°)
B. cos(32°)
C. sin(15°)
D. tan(10°)
用协函数恒等式重写三角方程
例9:用协函数恒等式求θ的值
求θ的值，使下列三角表达式成立。
A. sin (θ) = cos(20°)
B. cos (θ) = sin(33°)
C. tan (θ) = cot(78°)
D. CSC (θ) = sin(14°)
解决方案
用正弦协函数恒等式来解θ。
Sin (θ) = cos(20°)
Cos (u) = sin90°- u
Cos(20°)= sin(90°- 20°)
Cos(20°)= sin(70°)
θ = 70°
应用余弦的协函数恒等式来解θ。
Cos (θ) = sin33°
Sin(33°)= cos(90°- u)
Sin(33°)= cos(90°- 33°)
Sin(33°)= cos(57°)
θ = 57°
利用正切的协函数恒等式求θ的值。
Tan (θ) = cot(78°)
Cot(78°)= tan(90°- u)
Cot(78°)= tan(90°- 78°)
Cot(78°)= tan(12°)
θ = 12°
在计算给定表达式时，使用余割的协函数恒等式。
CSC (θ) = SEC(14°)
SEC(14°)= CSC(90°- u)
SEC(14°)= CSC(90°- 14°)
SEC(14°)= CSC(76°)
θ = 76°
回答
A. θ = 70°
B. θ = 57°
C. θ = 12°
D. θ = 76°
用协函数恒等式求θ的值
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据作者所知，这些内容是准确和真实的，并不意味着要取代来自合格专业人士的正式和个性化的建议。
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