余切图:如何画余切函数

雷是菲律宾的一名注册工程师。他喜欢写数学和土木工程方面的文章。

余切函数是什么?

cotan是tan函数的倒数。它是一个奇函数，由互惠的身份cot (x) = 1 / tan (x)。可以先画出y = tan (x)的曲线，然后估计tan (x)的倒数，它与倒数tan函数具有相同的周期。

余切图是一个不连续图，它没有定义sin (θ)等于零的值。你可以从正弦图中观察到余切函数在正弦图的零点处有垂直渐近线。

余切图性质

振幅

余切的幅值没有定义。由于没有指定余切的x的相对值，它们是无界的。余切函数的图形在垂直方向上无限延伸。对于y = α cot (βx - c) + d，振幅，有时称为拉伸因子，等于|α|。这意味着应该将图中垂直轴(y坐标)上的所有点乘以α的值。

期

对于y = cot (x)，周期等于π。这意味着余切图的一个周期发生在0到π之间。y = cot βx的周期等于π/β。对于y = α cot (βx - c) + d，周期为π / |β|。

域

(x, cot x)形式的有序对组成了余切函数。由于cot (x) = cos (x) / sin (x)，余切函数的定义域是实数的集合，除了sin (x) = 0的s值。因此定义域包含所有元素x，使得x≠nπ，其中n是整数。对于图y = α cot (βx)的定义域，定义域为x≠π/|β|k。对于格式为y = α cot (βx - c) + d的余切函数，定义域为x≠c/β + π/|β|k，其中k为整数。

范围

余切函数的范围都是实数。对于图y = α cot (βx)，它是(-∞，∞)，对于y = α cot (βx - c) + d，这种排列的余切函数的范围是(-∞，-|α|] U [|α|，∞)。

连续性

每个函数在x处都是不连续的，其倒数为零。在余切函数的情况下，它在x处不连续，而x的切线为零。y = cot (x)图在nπ处是不稳定的，其中n是整数。

垂直渐近线

像通常的反函数图一样，余切函数在一个循环的末端有垂直渐近线。图y = α cot (βx)的垂直渐近线出现在x = nπ / |β|处，其中n为整数。另一方面，对于y = α cot (βx - c) + d，垂直渐近线出现在x = c/β + nπ/|β|处，其中n为整数。请注意，余切函数的垂直渐近线是cot (x)的分母为零的地方。

x轴截距

y = tan (x)的渐近线是y = cot (x)的x截距。另一方面，y = tan (x)的x截距是y = cot (x)的渐近线。

垂直转移

方程为y = α cot (βx - c) + d的余切函数的垂直位移等于d向上移动。否则，如果d是负的，它就向下移动。

水平变化

余切图的水平位移或相移等于c/β，其中正值表示图形向左移动，反之亦然。例如，给定y = α cot (βx - c) + d，括号内的项等于零。

βx - c = 0

X = c/β

如何画余切函数

正如你所观察到的，方程y = cot (x)的图形与对应函数tan的图形相反。在做余切函数图的时候，不要不知所措，试着计算和绘制许多点。你需要知道图形的什么地方是0，什么地方等于1，垂直渐近线的位置，并确定是否有水平和垂直移动。

注意，余切函数有多种形式。它的形式可以是y = α cot (βx)或y = α cot (βx - c) + d，具有垂直和水平位移。我们可以按照下面所示的步骤绘制余切函数。

1. 用最简形式表示函数f(x) = α cot (βx + c) + d。
2. 确定基本性质。识别参数，包括拉伸因子/振幅、周期、水平和垂直位移等。
3. 求垂直渐近线。
4. 找到域和范围的值。
5. 确定x截距。这是绘制参考点的良好准备。
6. 如果存在垂直和水平移动，请识别。
7. 求余切函数的值并画出曲线。

例1:绘制简单余切函数的图形

确定余切方程y = 4cot (4x)的参数。

解决方案

给定的余切函数已经在y = α cot (βx)中。接下来，确定绘制余切函数所需的基本属性或参数，如振幅、周期等。

振幅:系数4是y = 4cot (4x)的振幅。

振幅= |α|

振幅= |4|

期:用公式P = π / |β|求解y = 4cot (4x)的周期。我们可以从所给的方程中看出β的值等于4。

P = π / |β|

P = π / |4|

P = π / 4

域:余切函数的定义域是一组输入值或参数值，它是定义的并且是准确的。

πn / 4 < x < π / 4 + πn / 4

垂直渐近线:用通式求余切函数的垂线。如下所示的结果表明，一条垂直渐近线出现在π / 4处，并且每P = π / 4出现一次。

X = c/β + nπ/|β|

X = 0 + nπ / 4

X = nπ / 4

x轴截距:接下来，通过得到x截距来绘制图的参考点。将y = 0代入给定的余切方程。

在y = 0时，

Y = 4床(4x)

0 = 4 cot (4(x))

X = π/8 + πn/4

n是任意整数

n =0时，x = π/8

Y = 4床(4x)

Y = 4 cot (4(π/8))

Y = 0

当n = 1时，x = 3π/8

Y = 4床(4x)

Y = 4 cot (4(3π/8)

Y = 0

n = -1时，x = -π/8

Y = 4床(4x)

Y = 4 cot (4(-π/8))

Y = 0

你可以观察到，当x为π/8 + πn/4时，y的值为0。因此，轴截点发生在(π/8 + πn/ 4,0)，其中n为整数。

最后，画出给定函数的图形，给定周期为π/ 4，其中一条垂线为π/ 4，当x = π/8时y = 0, x = -π/8, x = 3π/8。

例2:具有水平和垂直位移的余切函数

画出方程y = 5cot (πx/8 - π/2) + 3的余切图。

解决方案

给定的余切方程具有相移和垂移。第一步是确定给定余切方程的关键性质，以绘制其图形。

振幅:系数5是y = 5cot (πx/8 - π/2) + 3的振幅。因此，拉伸因子为5。

振幅= |α|

振幅= |5|

振幅= 5

期:用公式P = π/ |β|求解y = 5 cot (πx/8 - π/2) + 3的周期。由公式可知，β的值等于π/8。

P = π / |β|

P = π/ |π/8|

P = 8

垂直渐近线:用通式求余切函数的垂线。

X = c/β + nπ/|β|

X = (-π/2) / (π/8) + nπ / (π/8)

X = -4 + 8n

水平的转变:图表向右移动了四个单位。

相移= c/β

相移= -π/2 / (π/8)

相移= -4

垂直的转变:余切方程y = 5cot (πx/8 - π/2) + 3的垂直位移等于向上平移的三个单位。

拐点:找到拐点，以查看图形的一些点在笛卡尔坐标系中的位置。

在y = 0处

0 = 5 cot (πx/8 - π/2) + 3

X = 9.376 + 8n

X = 17.376 + 8n

当n = 1时

X = 9.376 + 8(1)

X = 17.376

n = -1时

X = 9.376 + 8(-1)

X = 1.376

当n = -2时

X = 9.376 + 8(-2)

X = -6.624

最后，画出同时具有相移和垂直移的余切方程的图形。

例3:画一个相移余切函数

画出方程y = -3cot (x/2 + π/3)的余切图。

解决方案

给定的余切函数已经在y = α cot (βx + c)中。确定绘制余切方程所需的参数。

振幅:系数-3是y = -3 cot (x/2 + π/3)的振幅。

振幅= |α|

振幅= |-3|

振幅= 3

期:用公式P = π/ |β|求解y =-3 cot (x/2 + π/3)的周期。我们可以从所给的方程中看出β的值等于1/2。

P = π / |β|

P = π / |1/2|

P = 2π

域:余切函数的定义域是函数定义为实数的输入值或参数值的集合。y = -3 cot (x/2 + π/3)的定义域如下所示。

2πn≤x < 4π/3 + 2πn

垂直渐近线:用公式求余切函数的垂线。由下面的结果可知，垂直渐近线出现在2π/3 + 2πn处。

X = c/β + nπ/|β|

X = (π/3) /(½)+ nπ /(½)

X = 2π/3 + 2πn

x轴截距:所有的拐点都在定义域内，而不是在定义域边上。

在y =0处

Y = -3 cot (x/2 + π/3)

0 = -3 cot (x/2 + π/3)

X = π/3 + 2πn

当n = 1时

X = π/3 + 2π(1)

X = 7π/3

n = -1时

X = π/3 + 2π(-1)

X = -5π/3

水平位移/相移:由于在函数的分组符号中增加了一个常数，所以余切图有一个水平移动。使用水平位移c/β的公式。由于相移的结果值为正，图形水平向右移动。

相移= -c/β

相移= -π/3 /(½)

相移= -2π/3

或

βx + c = 0

X /2 + π/3 = 0

X = -2π/3

最后，用得到的参数向右水平移动2π/3绘制余切图。

例4:用拉伸因子绘制余切函数图

画出余切函数y = 4 cot (x)。

解决方案

描述余切函数y = 4cot (x)的变换，然后画出图像。确定诸如拉伸因子、周期、域等参数。

振幅:系数4是y = 4cot (x)的幅值，因此给定函数的拉伸因子为4。

振幅= |α|

振幅= |4|

振幅= 4

期:用公式P = π / |β|求解y = 4cot (x)的周期。我们可以从给定的方程看出β的值等于。

P = π / |β|

P = π / | |

P = 5π

域:余切函数的定义域是一组输入值或参数值，它是定义的并且是准确的。

5πn < x < 5π + 5π

垂直渐近线:用公式求余切函数的垂线。由下面的结果可知，垂直渐近线出现在每x = 5πn处。

X = c/β + nπ/|β|

X = 0 + nπ / | |

X = 5πn

x轴截距:求出该图的x截距，以绘制余切图的其他要点。

在y = 0时，

0 = 4 cot ((x))

Y = 4 cot (x)

X = 5π/2 + 5πn

当n = 1时，

X = 5π/2 + 5π(1)

X = 15π/2

n = -1时

X = 5π/2 + 5π(-1)

X = - 5π/2

最后，利用得到的参数，特别是拉伸因子，画出余切图。

例5:用相移绘制余切函数图

画出图形y = cot (5x - π/2)。

解决方案

定位基本参数，如周期，水平位移，和垂直渐近线需要绘制给定的余切函数。

期:用公式P = π / |β|求解y = 4cot (x)的周期。我们可以从给定的方程看出β的值等于。

P = π / |β|

P = π / |5||

P = π / 5

垂直渐近线:用公式求余切函数的垂线。由下面的结果可知，垂直渐近线出现在每x = 5πn处。

X = c/β + nπ/|β|

X = -π/2 / 5 + nπ / |5|

X = -π/10 + nπ/5

水平的转变:将括号内的项等于零，并求解x的值，x表示余切方程的水平位移。当结果为正时，相向左移动。

5x - π/2 = 0

X = π/2 / 5

X = π/10

最后，画出余切图。

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