分母的合理化:分数中的偏旁/偏旁
什么是无理数?
在学习无理数之前,先了解有理数是什么。有理数定义为任何可以写成分数p/q的数,其中p和q都是整数(整数)。7是有理数,可以写成7/1。0.34也是一个有理数,可以写成34/100,也可以简化为17/50。
有理数的另一个有用标识符是,当写成十进制形式时,这个数要么以0.5或0.3958结尾,要么重复出现,如0.3333…或0.17171717……
无理数是任何无理数,因此不能写成整数的分数。当以十进制形式书写时,它们的小数将永远延续下去,没有重复或模式。π和e是两个非常著名的无理数例子,但有趣的是,任何一个本身不是平方数的整数的平方根也是无理数。例如,√2和√3为无理数,√4 = 2为有理数。由无理根组成的数字被称为surds(在美国或激进),我们在这里要看的就是这些。
什么是合理的分母?
当处理包含小数的分数时,通常认为最好的做法是在底部(分母)放一个有理数,而把无理数放在顶部(分子)。我们称之为分母合理化。要了解这背后的原因,可以看看我的文章“为什么我们要合理化分母?”
简单分数的处理
首先,让我们看一个简单的例子;1 /√2。
为了使分母合理化,我们使用了一个事实,即数字n的平方根乘以自身是n,即√2 ×√2 = 2。
因此,将分数的顶部和底部同时乘以√2将得到有理数分母,而不改变分数的值。
我们现在可以看到1/√2 =√2 / 2。
它们是完全相同的数字(等于0.7071067812…),但我们现在已经将其转换为有理数分母。
示例2
现在我们来看一个类似的例子:3/√12。
我们可以上下同时乘以√12,这就会得到正确的答案,但最好先看看根是否可以化简。
12 = 3×4, 4是一个平方数,所以√12 =√3 ×√4 = 2√3。
现在我们有3/√12 = 3/ 2√3。
现在我们可以上下同时乘以√3来合理化分母。√3 ×√3 = 3,与分子上的3约掉,得到√3 / 2。
一个更棘手的例子
那么3 /(4−√5)这种形式的分数呢?我们不能只是上下同时乘以√5,因为这样分母上仍然会剩下4√5。
相反,我们用的是“共轭”。4−√5的共轭是4 +√5(只需将减号替换为加号,如果需要,反之亦然)。现在,我们用这个共轭式将上下相乘,利用两个平方之差法则来消去分母中的根,如下所示。(二平方法则之差是(a + b)(a−b) = a2−b2).
总结
所以,对分母进行理性化的方法取决于原始分数的格式。
- 如果分母只是一个平方根(或一个平方根的倍数),只要上下都乘以这个平方根,然后根据需要化简。
- 如果分母的形式是a±b√c,那么乘以它的共轭,由负号换成正号,或者反过来。同样,如果需要,之后再进行简化。
据作者所知,这些内容是准确和真实的,并不意味着要取代来自合格专业人士的正式和个性化的建议。
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