如何计算圆、线段和扇形面积的弧长

Eugene是一名合格的控制/仪表工程师，曾担任SCADA系统的电子和软件开发人员。

在本教程中，你将学习:

• 圆的不同部分的名称
• 角度和弧度以及如何在它们之间转换
• 和弦，弧线和割线
• 正弦和余弦
• 如何计算出弧线和和弦的长度
• 如何计算扇区和分段的面积
• 笛卡尔坐标系中圆的方程

什么是圆?

“一个轨迹是由满足特定方程的所有点组成的曲线或其他图形。

圆是单面形状，但它也可以被描述为一个点的轨迹，其中每个点到中心的距离相等(相同的距离)。

由两条射线从圆心发出的角

当两条线或两条线形成一个角射线在它们的端点连接在一起，分开或散开。角度范围从0度到360度。我们经常从希腊字母表中“借用”字母用于数学和科学。例如，我们用希腊字母“p”代表π (pi)，发音为“pie”来表示圆的周长与直径的比例。我们还使用希腊字母θ (θ)，发音为“the - ta”，表示角度。

圆的部分

• 扇区是由两条射线和一条弧围成的圆盘的一部分。
• 线段是圆盘上由圆弧和弦围成的一部分。
• 半圆是线段的一种特殊情况，当弦长等于直径时形成。

π是什么?

π用希腊字母π表示，是圆的周长与直径之比。它是一个无理数，这意味着它不能以a/b的形式表示，其中a和b是整数。

圆周率等于3.1416四舍五入到小数点后4位。

一个圆的周长是多少?

如果圆的直径是D半径是R．

然后周长C=πD

但D= 2R

关于半径R

C=πD= 2πR

圆的面积是多少?

圆的面积是一个=πR²

但R＝D/ 2

面积用半径表示R是

一个=πR²π (D/ 2)²=πD²／４

什么是度和弧度?

角度是用角度来衡量的，但有时为了使数学更简单和优雅，最好使用弧度，这是表示角度的另一种方式。弧度是由一段长度等于圆半径的弧所构成的角。(“对位”指的是从圆弧的端点到圆心连接两条线所产生的。)

长度弧R在哪里R是圆的半径，对应1弧度的角度。

如果一个圆的周长是2πR即2π乘以R，一个圆的角度将是2π乘以1弧度或2π弧度。

360度= 2π弧度。

如何从角度转换为弧度

1. 360度= 2π弧度
2. 两边除以360得到
3. 1度= 2π /360弧度
4. 然后两边同时乘以θ
5. θ度= (2π/360) xθ＝θ(π/ 180)弧度
6. 将角度转换为弧度，乘以π/180

如何从弧度转换为度

1. 2π弧度= 360度
2. 两边除以2π
3. 1弧度= 360 / (2π)度
4. 两边同时乘以θ，得到角θ弧度
5. θ弧度= 360/(2π) xθ=(180 /π)θ度
6. 要把弧度转换成角度，就要乘以180/π

如何求出弧的长度

你可以通过计算一个圆的角度占360度角的百分比来算出圆弧的长度。

1. 一个完整的360度角的弧长等于周长C
2. 所以360度对应的弧长是C = 2πR
3. 除以360，得到1度的弧长:
4. 1度对应弧长2πR/ 360
5. 求一个角θ的弧长，用上面的结果乘以θ:
6. 1 xθ＝θ对应弧长(2πR/360) xθ

所以角θ的弧长s是:

S = (2πRx / 360)θ=πRθ/ 180

弧度的推导要简单得多:

根据定义，1弧度对应弧长R

如果角度是θ弧度，乘以θ得到:

弧长s =Rxθ＝Rθ

什么是正弦和余弦?

直角三角形有一个角是90度。这个角的对边叫做斜边它是最长的边。正弦和余弦是一个角的三角函数，是另两条边的长度与直角三角形斜边的比值。

在下面的图表中，其中一个角用希腊字母θ表示。

边a就是这个角的对边，边b就是这个角的邻边θ．

正弦θ=对边长度/斜边长度

余弦θ=邻边长度/斜边长度

正弦和余弦适用于一个角，不一定是三角形中的一个角，所以可以让两条直线在一点相交然后求这个角的正弦或余弦值。然而sin和cos是由一个假想的直角三角形的边在直线上叠加而来。在下面的第二个图中，你可以想象一个直角三角形叠加在紫色三角形上，从中可以确定对边、邻边和斜边。

在0到90度范围内，sin的取值范围是0到1,cos的取值范围是1到0

记住正弦和余弦只取决于三角形的角度，而不是三角形的大小。因此，如果下图中三角形的长度a随着三角形大小的变化而变化，斜边c也会发生变化，但a与c之比保持不变。

sin和cos有时缩写为sin和cos。

如何计算圆的扇形面积

圆的总面积是πR²对应于整个圆的2π弧度的角度。

如果这个角是θ，那么这个角就是θ/2π圆的全角的分数。

所以扇形的面积就是这个分数乘以圆的总面积

或

（θ/2π x (πR²) =θR²/ 2θ在弧度。

如何计算由角度产生的和弦长度

弦的长度可以用余弦规律．
对于下图中的三角形XYZ，角θ的对边是长度为c的弦。

根据余弦法则:

c²＝R²+R²－2RRc操作系统θ

简化:

c²＝R²+R²－2R²因为θ

或c²= 2R²(1 - cos)θ）

但从半角公式(1- cosθ)/2 = sin²（θ/2)或者(1- cosθ) = 2sin²（θ/ 2)

取代了:

c²= 2R²(1 - cos)θ) = 2R²2罪²（θ/2) = 4R²罪²（θ/ 2)

两边开平方根得到:

C = 2Rsin (θ/ 2)θ在弧度。

一个更简单的推导是将三角形XYZ分成两个相等的三角形，并使用对边和斜边之间的正弦关系，如下面的线段面积计算所示。

如何计算圆的一段面积

计算以弦和圆弧为界的线段的面积θ，首先计算出三角形的面积，然后用扇形的面积减去它，得到线段的面积。(见下图)

带角的三角形θ可以平分给两个有角的直角三角形吗θ/ 2。

sin (θ/ 2) =一个/R

所以一个＝Rs在(θ/2)(绳长c= 2一个= 2Rs在(θ/ 2)

cos (θ/ 2) =b/R

所以b＝钢筋混凝土操作系统(θ/ 2)

三角形XYZ的面积等于底的一半除以垂直高度，所以如果底是弦XY，底的一半是a，垂直高度是b，所以面积是

ab

代替一个而且b给:

Rs在(θ/ 2)钢筋混凝土操作系统(θ/ 2)

＝R²sin (θ/ 2) cos (θ/ 2)

但倍角公式表明sin(2θ) = 2sin(θ)因为(θ）

取代了:

三角形的面积XYZ =R²sin (θ/ 2) cos (θ/ 2) =R²((1/2)罪θ) = (1/2)R²罪θ

扇区面积为:

R²（θ/ 2)

线段的面积是扇形面积与三角形面积之差，因此相减得到:

线段面积=R²（θ/2) - (1/2)R²罪θ

= (R²/ 2) (θ——罪θ),θ在弧度。

圆的标准形式方程

如果圆心位于原点，我们可以取圆周上的任意一点，用该点与圆心的斜边叠加一个直角三角形。
根据毕达哥拉斯定理，斜边的平方等于另外两条边的平方和。如果圆的半径是r，那么这是直角三角形的斜边，所以我们可以把方程写成:

x²+y²＝r²

这是一个圆的方程标准形式在笛卡尔坐标系中。

若圆以点(a,b)为圆心，则圆的方程为:

（x-一个）²+ (y-b）²＝r²

圆的参数式方程

另一种表示圆坐标的方法是参数形式。这将用一个参数表示x和y坐标的值。该参数被选为x轴与点(x, y)到原点。如果这个角是θ，则:

X = cos θ

Y = sin θ

对于0 < θ < 360°

圆方程摘要

例子

这是一个用弧线和和弦来使用三角函数的实际例子。一堵弯曲的墙建在建筑物前面。这面墙是一个圆的一部分。有必要计算出曲线上各点到建筑物墙壁的距离(距离“B”)，知道曲率半径R，弦长L，弦到墙壁的距离S和曲线a上中心线到点的距离，看看你是否可以确定方程是如何推导出来的。提示:使用毕达哥拉斯定理。

据作者所知，这篇文章是准确和真实的。内容仅供参考或娱乐之用，并不替代商业、金融、法律或技术事务方面的个人建议或专业建议。

©2018 Eugene Brennan

评论

尤金·布伦南(作者)2020年5月31日，来自爱尔兰:

谢谢奥斯丁。

已知R和L/2，我算出了上图中的D。实际上，这可能是不必要的，因为你可能已经知道从圆心到墙内的距离。加上S得到D。

奥斯丁2020年5月31日:

非常感谢你解决了弯曲墙的问题。

我绞尽脑汁，用你网站上现有的公式来破解它——但像往常一样，当一个“知道”的人告诉你“怎么做”时，它变得如此清晰，你想知道你以前怎么看不见它。

谢谢你重新点燃了我对知识的渴望。

一个

尤金·布伦南(作者)2020年4月30日，爱尔兰:

嗨，奥斯汀，我花了几个小时试图用角度来解决这个问题，但事实证明，由于弯曲墙壁两端之间的弦长是已知的(这是正确的吗?)，它可以很容易地用毕达哥拉斯定理计算出来。我在文章的底部画了一个例子，希望能有所帮助。

建议，您可以将这些值放入电子表格中进行计算。

奥斯丁史密斯2020年4月28日:

嗨，我有一个简单但令人沮丧的问题-我想从直墙建立一个固定距离的规则曲线墙-圆/弧墙的中心落在建筑物内。

我需要计算出距离直墙测量，以定期间隔，以创建完美的曲线开始和结束在和弦(第二)形成距离直墙。(1日和弦)

希望你能帮忙。

尤金·布伦南(作者)2020年4月7日，爱尔兰:

如果你指的是弦长，它是2Rsin(θ/2)

请参阅上面的推导。

达雷尔2020年4月6日:

如何计算圆的一段长度

Lakshay2019年9月19日:

好努力

尤金·布伦南(作者)2019年4月5日，爱尔兰:

如果你知道和弦的起始点和结束点的坐标，你可以用毕达哥拉斯定理算出和弦的长度。然后用弦长方程(2Rsin(θ/2))求出θ。

Mazin G A2019年4月1日:

你好,

知道半径、圆心、起点和终点，如何计算圆心的角度?如果我知道弧长，我知道怎么做，但在我的例子中，我没有它。

尤金·布伦南(作者)2019年3月19日，来自爱尔兰:

谢谢，特洛伊，我会记住的。不过，抛物线可能会先出现。

特洛伊Sartain2019年3月19日:

关于省略号的类似文章呢?只是一个想法。显然，这是另一个层次的复杂性，即使没有旋转。

拉里·兰金2018年5月19日，俄克拉荷马州:

非常有教育意义。

尤金·布伦南(作者)2018年5月18日，爱尔兰:

谢谢George，我应该在发布之前进行校对，而不是在读者中进行beta测试!!

乔治Dimitriadis2018年5月18日坦普尔斯托:

嗨。

这是一个很好的圆属性基础介绍。

图表清晰且信息丰富。

只有几个要点。

所以C = πD = πR/2，那么C = πD = 2πR

A = π r ^2 = π (D/2)2 = πD^2/2

A = π r ^2 = π (D/2)2 = πD^2/4