三角函数中的互易恒等式(附举例)

三角函数的互易恒等式

相互的身份是三个标准三角函数的倒数，即正弦，余弦和正切。在三角学中，倒恒等式有时被称为逆恒等式。倒数恒等式是用“弧”前缀写成的反正弦、余弦和正切函数，如arcsin、arccos和arctan。例如，像sin^-1 (x)和cos^-1 (x)这样的函数是逆恒等式。两种表示法都是正确的，都是可以接受的。

学习倒数恒等式需要你熟悉正弦，余弦和正切的基本三角恒等式的公式。这些基本恒等式是函数的逆。它们是分子和分母位置颠倒的函数。在这种情况下，是三角形的边。

正弦函数的倒数是余割函数。

Sin (θ) = 1 / CSC (θ)

余弦函数的倒数是正割函数。

Cos (θ) = 1 / SEC (θ)

正切函数的倒数是余切函数。

Tan (θ) = 1 / cot (θ)

余割函数的倒数是正弦函数。

CSC (θ) = 1 / sin (θ)

正割函数的倒数是余弦函数。

SEC (θ) = 1 / cos (θ)

余切函数的倒数是正切函数。

Cot (θ) = 1 / tan (θ)

需要注意的一件重要的事情是，所有关于正割，余割，和余切的定义都涉及到除数可能为零。例如，如果cos (x) = 0，那么sec(x)没有定义，因为我们要除以0。这就是为什么像secant, cosecant和cotan这样的函数在它们的域中有洞或间隙。

sec

正割函数是余弦函数的倒数。它是直角三角形中一个给定角的邻边的斜边比。请参见下图来进一步理解这个概念。

cos (A) =邻边/斜边= b / c

sec (A) =斜边/邻边= c / b

csc

余割是正弦函数的倒数。余割是直角三角形的斜边与对边之比。

sin (A) =对边/斜边= A / c

csc (A) =斜边/对边= c / A

余切

余切函数是正切函数的倒数。它是给定直角三角形中邻边与对边之比。

tan (A) =对边/邻边= A / b

cot (A) =相邻/相对= b / A

应用互易恒等式的其他基本三角恒等式

这里有一些不同的重要恒等式或公式，它们可以在简化恒等式或验证恒等式时与互易恒等式一起使用。

毕达哥拉斯的身份

罪²(θ) + cos²(θ) = 1

棕褐色²(θ) + 1 = SEC²(θ)

床²(θ) + 1 = CSC²(θ)

商的身份

Tan θ = sin θ / cos θ

Cot (θ) = cos (θ) / sin (θ)

证明包含互易恒等式的表达式的步骤

当使用三角表达式时，通常希望将一种形式转换为可能更有用的等效函数。下面是一些用于建立特定身份的技术。记住，对于所有恒等式的证明没有固定的过程。尽管如此，你总是可以采取一些具体的步骤，这些步骤在很多方面都有帮助。

1. 开始处理更复杂的边，把它转换成更简单的三角表达式。通常情况下，你可以把方程分解成简单的三角函数，比如正弦、余弦和正切。
2. 尝试代数运算，如乘法、因式分解、组合和拆分单个分数，等等。
3. 如果其他步骤都失败了，用正弦和余弦函数表示每个函数，然后进行适当的代数运算，
4. 在每一步中，记住身份的另一面。它经常揭示一个人应该怎么做才能达到目标。

请参阅下面的示例，以充分理解互易恒等式以及它们与其他基本恒等式的关系。

例1:利用倒数恒等式求三角函数值

使用倒数恒等式求下列表达式的值。

1. Sin (x) = 3 / 7 CSC (x) = ?
2. Cos (x) =√3 / 2 SEC (x) = ?
3. Tan (x) = 3 cot (x) = ?
4. SEC (x) = π / 5 cos (x) = ?
5. CSC (x) = 0.5, sin (x) = ?
6. Cot (x) =√2 / 2,tan (x) = ?

解决方案

给出六个三角恒等式，用前面提到的倒数恒等式求它们的倒数。

sinx = 3 / 7

CSC (x) = 7 / 3

cosx =√3 / 2

SEC (x) = 2 /√3

Tan (x) = 3

Cot (x) = 1 / 3

SEC (x) = π / 5

cosx = 5 / π

CSC (x) = 0.5 = 1 / 2

sinx = 1 / 0.5

sinx = 2

Cot (x) =√2 / 2

Tan (x) = 2 /√2

最终的答案

sin (x) = 3 / 7的倒数是csc (x) = 7 / 3。

cos (x) =√3 / 2的倒数是sec (x) = 2 /√3。

tan (x) = 3的倒数是cot (x) = 1 / 3。

sec (x) = π / 5的倒数是cos (x) = 5 / π。

csc (x) = 0.5的倒数是sin (x) = 2。

cot (x) =√2 / 2的倒数是tan (x) = 2 /√2。

例2:求割线方程的值并作图

计算并绘制sec (5π/6)。

解决方案

回想余弦的倒数恒等式，代入5π/6。然后，画出函数的图形。

SEC (5π/6) = 1 / cos (5π/6)

SEC (5π/6) = 1 /(-√3 / 2)

SEC (5π/6) = - 2 /√3

SEC (5π/6) = - 2√3 / 3

最终的答案

sec (5π/6)的值为- 2√3 / 3。

例3:计算余割函数并绘制其图形

计算并画出余割(7π/6)。

解决方案

回想余弦的倒数恒等式，代入5π/6。

CSC (7π/6) = 1 / sin (7π/6)

CSC (7π/6) = 1 / (-1 / 2)

CSC (7π/6) = - 2

CSC (7π/6) = - 2

最终的答案

csc (7π/6)为- 2。

例4:用正割的倒数恒等式求正切复函数

化简sec (θ) / tan (θ)

解决方案

下面显示的是通过执行代数操作来简化给定表达式的逐步过程。应用倒数恒等式，分别在正弦和余弦中重写正切函数。

sec(θ)/ tan(θ)= [1 / cos(θ)]/ [sin(θ)/ cos(θ)]

要继续简化，请将函数求反并相乘。

证交会(θ)/ tan(θ)= [1 / cos(θ)][cos(θ)/ sin(θ)]

Sec (θ) / tan (θ) = 1 / sin (θ)

回想一下，其中一个倒数恒等式是1 / sin (θ) = csc (θ)

1 / sin (θ) = CSC (θ)

证明了sec(θ) / tan (θ)可以简化为csc (θ)，并建立了一个恒等式。

最终的答案

三角方程sec(θ) / tan (θ)等于csc (θ)

例5:用互易公式证明恒等式

证明恒等式sin (x) + cos (x) = [1 + cot (x)] / csc (x)。

解决方案

让我们开始化简右边，得到更直接的方程sin (x) + cos (x)。首先要做的是减少分数。我们把余切函数和余割函数写在方程右边。

(1 +床(x)) / csc (x) = (1 + (cos (x) / sin (x))) / (1 / sin (x))

接下来，除以分数。在除法分数时，我们将两项颠倒，然后相乘。

(1 +床(x)) / csc (x) = (1 + (cos (x) / sin (x))) (sin (x))

然后，将sin (x)分配到括号内的所有项并化简分数。

(1 +床(x)) / csc (x) = sin (x) + (cos (x) sin (x) / sin (x))

[1 + cot (x)] / CSC (x) = sin (x) + cos (x)

最终的答案

因此，sin (x) + cos (x) = [1 + cot (x)] / csc (x)是一个正确的恒等式。

例6:使用倒数恒等式简化表达式

用倒数恒等式化简给定的表达式。
Cot (x) [sin (x) + tan (x)] / [csc (x) + Cot (x)]

解决方案

观察给定的方程，并识别可能的函数被简化使用倒数恒等式和商恒等式。首先用等价函数替换这些函数。第一步的主要目标是将表达式分解为三个三角函数，即正弦、余弦和正切。

床(x) (sin (x) +棕褐色(x)] / [csc (x) +床(x)] = [cos (x) / sin (x) [sin (x) + (sin (x) / cos (x)] / (1 / sin (x)) + (cos (x) / sin (x))

接下来，使用分布恒等式来简化方程。可以看到，分子上可以消掉很多项。

床(x) (sin (x) +棕褐色(x)] / [csc (x) +床(x) = cos (x) + 1 / ((1 + cos (x) / sin (x)))

床(x) (sin (x) +棕褐色(x)] / [csc (x) +床(x) = cos (x) + 1 (sin (x) / (1 + cos (x))

床(x) (sin (x) +棕褐色(x)] / [csc (x) +床(x) = sin (x)

最终的答案

复杂表达式cot (x) [sin (x) + tan (x)] / [csc (x) + cot (x)]的简化形式是sin (x)。

例7:Cosecant, Secant和cotan函数值的求解

给定如下所示的三角形，求出csc (A)， sec (A)和cot (A)的值。

解决方案

余割是sin的倒数。余割是斜边与对边之比。参照三角形，斜边的值为5，对边的值为3。

csc (A) =斜边/对边

csc (A) = 5 / 3

割线函数是斜边与邻边之比。斜边的值是5，邻边的值是4。把这些值代入方程。

sec (A) =斜边/邻边

sec (A) =5 / 4

余切是对边与邻边之比。对边的值是3，邻边的值是4。

cot (A) =相邻/相对

cot (A) = 4 / 3

最终的答案

csc (A)、sec (A)、cot (A)分别为5/3、5/4、4/3。

例8:利用三角形插图获取Cosecant, Secant和cotan的值

给定下列三角形，确定csc (X)， sec (W)和cot (R)的值。

解决方案

首先，我们求出csc (X)，记住csc是斜边与对边之比。对于给定的三角形，斜边的值是10，而对边的值是8。

csc (X) =斜边/对边

csc (X) = 10 / 8

csc (X) = 5 / 4

接下来，让我们通过查看第二张图来求解sec (W)的值。割线函数是斜边与邻边之比。斜边的长度是30，而邻边的长度是18。

sec (W) =斜边/邻边

sec (W) = 30 / 18

sec (W) = 5 / 3

最后，让我们求cot (R)的值。看第三个直角三角形，对边和邻边的值分别是15和36。余切是邻边与对边之比。

cot (R) =相邻/相对

cot (R) = 36 / 15

cot (R) = 12 / 5

最终的答案

csc (X)为5/4,sec (W)为5/3,cot (R)为12/5。

例9:获取倒数的值

已知三角函数的值，求其倒数的值。

1. Cos θ = 0.2 SEC θ = ?
2. Cot (θ) = 4/3, tan (θ) = ?
3. Sin (θ) = 1 / 3 CSC (θ) = ?

解决方案

这些函数是倒数的。对于cos (θ) = 0.2，用分数表示更容易。一旦像分数一样缩小范围，求倒数得到sec (θ)的值。

Cos (θ) = 0.2

Cos (θ) = 2 / 10

Cos (θ) = 1 / 5

SEC (θ) = 1 / cos (θ)

SEC (θ) = 5 / 1

SEC (θ) = 5

Cot (θ) = 4 / 3

Tan (θ) = 1 / cot (θ)

Tan (θ) = 3 / 4

Sin (θ) = 1 / 3

CSC (θ) = 1 / sin (θ)

CSC (θ) = 3

最终的答案

cos (θ) = 0.2的倒数为5。

cot (θ) = 4 / 3的倒数值为3 / 4。

sin (θ) = 1 / 3的倒数等于3。

例10:使用基本身份建立身份

建立等式sec (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos (θ)

解决方案

通常，我们从更复杂的一边开始用基本恒等式，代数，或者不同的恒等式把它转换成另一边。

SEC (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos (θ)

sec(θ)- tan(θ)罪(θ)= (1 / cos(θ))- (sin(θ)/ cos(θ)][罪(θ)]

sec(θ)- tan(θ)罪(θ)= (1 / cos(θ))- [sin2(θ)/ cos(θ)]

sec(θ)- tan(θ)罪(θ)= (1 - sin2(θ)]/ cos(θ)

SEC (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos2 (θ) / cos (θ)

SEC (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos (θ)

最终的答案

表达式sec (θ) - tan (θ) sin (θ) = cos (θ)是一个验证恒等式。

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