什么是分形?历史与解释

Benoit Mandelbrot

分形之父是Benoit Mandelbrot，他是一位天才数学家，年轻时曾躲避纳粹，后来为IBM工作。在IBM工作期间，他致力于解决电话线似乎存在的噪音问题。它会堆积、累积，最终破坏正在发送的信息。Mandelbrot想要找到一些数学模型来找出噪声的性质。他观察了所看到的脉冲，并注意到当他操纵信号来改变噪声时，他发现了一种模式。就好像噪音信号被复制了，但规模更小。这种模式让他想起了康托尔集(Cantor Set)，这是一种数学结构，它把一段长度的中间三分之一去掉，然后在接下来的每段长度上重复使用。1975年，曼德布罗特为这种模式创造了“分形”一词，但这一术语在学术界没有流行起来。具有讽刺意味的是，曼德布罗特写了几本关于这个主题的书，它们已经成为有史以来最畅销的数学书籍之一。

分形的性质

分形的面积是有限的，但周长是无限的，这是因为当我们计算给定形状的这些细节时，我们在x上的变化。我们的分形不是平滑的曲线(像一个完美的圆)，而是崎岖不平的，锯齿状的，充满了不同的模式，无论你放大多远，最终都会重复，也会导致我们最基本的欧几里得几何失败。但更糟糕的是:欧几里得几何的维度我们可以很容易地联系起来，但现在不一定适用于分形。点是0d，线是1d，等等，但是分形的维数是多少呢?它看起来有面积，但它是对线的操作，在1维和2维之间。事实证明,混沌理论有一个奇怪的吸引子形式的答案，它可以有不寻常的维度，通常写为小数。剩下的部分告诉我们分形更接近于哪种行为。1.2 D的图形更像直线而不是区域，而1.8 D的图形更像区域而不是直线。在可视化分形维数时，人们使用不同的颜色来区分所绘制的平面(Parker 130- 1,137 -9;玫瑰)。

著名的分形

赫格·科赫(Helge Koch)于1904年发明了科赫雪花，由规则三角形生成。首先去掉每条边中间的三分之一，用一个新的正三角形代替它，它的边长是被去掉的部分的长度。重复每个后续三角形，你会得到一个类似雪花的形状(Parker 136)。

谢尔宾斯基有两个特殊的分形以他的名字命名。一个是谢尔宾斯基垫片，我们取一个正三角形，将中点连接起来，形成4个面积相等的正三角形。现在离开中心三角形，再次执行其他三角形，留下每个新的内三角形单独。席尔宾斯基地毯与衬垫的概念相同，但用正方形代替了常规三角形(137)。

就像在数学中一样，一个新领域的一些发现之前在该领域的工作没有得到承认。科赫雪花的发现比曼德布罗特的研究早了几十年。另一个例子是1918年发现的茱莉亚系列对分形和混沌理论的一些启示．它们是包含复平面和a+bi形式的复数的方程。为了生成我们的Julia Set，定义z为a+bi，然后平方它并加上一个复数常数c。现在我们有了z²+ c。再一次，平方它，然后加上一个新的复常数，等等。确定这个的无限结果是什么，然后找出每个有限步和无限步之间的差值。这就产生了茱莉亚集合，它的元素不必为了形成而相互连接(Parker 142-5, Rose)。

当然，最著名的分形集当属曼德尔布罗特集。他们遵循了他1979年的工作，当时他想把他的结果可视化。利用茱莉亚集合技术，他观察了有限和无限结果之间的区域，得到了看起来像雪人的东西。当你放大任何一个特定的点，你最终会回到相同的模式。后来的工作表明，其他曼德尔布罗特集是可能的，而茱莉亚集是其中一些的机制(帕克146-150，罗斯)。

工作引用

帕克,巴里。宇宙的混乱。纽约，全会出版社，1996年。打印，130- 9,142 -150。

玫瑰,迈克尔。“什么是分形?”theconversation.com．2012年12月11日。2018年8月22日。

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